Package set-size-thm: set-size-thm

Information

name	set-size-thm
version	1.14
description	set-size-thm
author	Joe Hurd <joe@gilith.com>
license	HOLLight
provenance	HOL Light theory extracted on 2011-09-21
show	Data.Bool

Files

Package tarball set-size-thm-1.14.tgz
Theory file set-size-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ Set.size Set.∅ = 0

⊦ Set.hasSize Set.universe 2

⊦ ∀x. Set.hasSize (Set.insert x Set.∅) 1

⊦ ∀x. Set.size (Set.insert x Set.∅) = 1

⊦ ∀s. Set.finite s ⇔ Set.hasSize s (Set.size s)

⊦ ∀s. Set.hasSize s 0 ⇔ s = Set.∅

⊦ ∀s n. Set.hasSize s n ⇒ Set.size s = n

⊦ ∀s. Set.finite s ⇒ (Set.size s = 0 ⇔ s = Set.∅)

⊦ ∀f s.
Set.finite s ⇒ Number.Natural.≤ (Set.size (Set.image f s)) (Set.size s)

⊦ ∀n. Set.hasSize { m. m | Number.Natural.< m n } n

⊦ ∀n. Set.size { m. m | Number.Natural.< m n } = n

⊦ ∀a b.
Set.⊂ a b ∧ Set.finite b ⇒ Number.Natural.< (Set.size a) (Set.size b)

⊦ ∀a b.
Set.⊆ a b ∧ Set.finite b ⇒ Number.Natural.≤ (Set.size a) (Set.size b)

⊦ ∀n. Set.hasSize { m. m | Number.Natural.≤ m n } (Number.Natural.+ n 1)

⊦ ∀n. Set.size { m. m | Number.Natural.≤ m n } = Number.Natural.+ n 1

⊦ ∀f s t.
Set.finite t ∧ Set.⊆ s (Set.image f t) ⇒
Number.Natural.≤ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Number.Natural.≤ (Set.size (Set.∪ s t))
      (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t))

⊦ ∀s t. Set.finite t ∧ Set.⊆ s t ⇒ (Set.size s = Set.size t ⇔ s = t)

⊦ ∀a b. Set.finite b ∧ Set.⊆ a b ∧ Set.size a = Set.size b ⇒ a = b

⊦ ∀a b.
Set.finite b ∧ Set.⊆ a b ∧ Number.Natural.≤ (Set.size b) (Set.size a) ⇒
a = b

⊦ ∀s t.
Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
Set.size (Set.cross s t) = Number.Natural.* (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
Set.finite s ∧ Number.Natural.≤ n (Set.size s) ⇒
∃t. Set.⊆ t s ∧ Set.hasSize t n

⊦ ∀s n.
(Set.finite s ⇒ Number.Natural.≤ n (Set.size s)) ⇒
∃t. Set.⊆ t s ∧ Set.hasSize t n

⊦ ∀s t.
Set.finite s ∧ Set.⊆ t s ⇒
Set.size (Set.\ s t) = Number.Natural.- (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size (Set.∪ s t) =
    Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size (Set.\ t s))

⊦ ∀s t m n.
Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
Set.hasSize (Set.cross s t) (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀x s.
    Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.delete s x) =
    if Set.∈ x s then Number.Natural.- (Set.size s) 1 else Set.size s

⊦ ∀s.
Set.finite s ⇒
Set.size { t. t | Set.⊆ t s } = Number.Natural.exp 2 (Set.size s)

⊦ ∀s n.
Set.hasSize s n ⇒
Set.hasSize { t. t | Set.⊆ t s } (Number.Natural.exp 2 n)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    (Set.size (Set.∪ s t) = Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t) ⇔
     Set.disjoint s t)

⊦ ∀s t.
Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.disjoint s t ⇒
Set.size (Set.∪ s t) = Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
Set.hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
¬(s = Set.∅) ∧ ∀a. Set.∈ a s ⇒ Set.hasSize (Set.delete s a) n

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size (Set.∪ s t) =
    Number.Natural.- (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t))
      (Set.size (Set.∩ s t))

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Number.Natural.+ (Set.size (Set.∪ s t)) (Set.size (Set.∩ s t)) =
    Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧
    Number.Natural.< (Set.size (Set.∪ s t))
      (Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t)) ⇒ ¬Set.disjoint s t

⊦ ∀s t m n.
Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ∧ Set.disjoint s t ⇒
Set.hasSize (Set.∪ s t) (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t m n.
Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ∧ Set.⊆ t s ⇒
Set.hasSize (Set.\ s t) (Number.Natural.- m n)

⊦ Set.size Set.∅ = 0 ∧
  ∀x s.
    Set.finite s ⇒
    Set.size (Set.insert x s) =
    if Set.∈ x s then Set.size s else Number.Natural.suc (Set.size s)

⊦ ∀s t u.
Set.finite u ∧ Set.disjoint s t ∧ Set.∪ s t = u ⇒
Number.Natural.+ (Set.size s) (Set.size t) = Set.size u

⊦ ∀s f.
Set.finite s ∧ Set.image f s = s ⇒
∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t } =
    Number.Natural.* (Set.size s) (Set.size t)

⊦ ∀s n.
    Set.hasSize s n ⇒
    ∃f.
      (∀m. Number.Natural.< m n ⇒ Set.∈ (f m) s) ∧
      ∀x. Set.∈ x s ⇒ ∃!m. Number.Natural.< m n ∧ f m = x

⊦ ∀f s.
(∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ Set.finite s ⇒
Set.size (Set.image f s) = Set.size s

⊦ ∀P.
    P Set.∅ ∧
    (∀s.
       Set.finite s ∧ ¬(s = Set.∅) ⇒
       ∃x. Set.∈ x s ∧ (P (Set.delete s x) ⇒ P s)) ⇒ ∀s. Set.finite s ⇒ P s

⊦ ∀f s n.
(∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
(Set.hasSize (Set.image f s) n ⇔ Set.hasSize s n)

⊦ ∀f s n.
(∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ Set.hasSize s n ⇒
Set.hasSize (Set.image f s) n

⊦ (∀s. Set.hasSize s 0 ⇔ s = Set.∅) ∧
  ∀s n.
    Set.hasSize s (Number.Natural.suc n) ⇔
    ∃a t. Set.hasSize t n ∧ ¬Set.∈ a t ∧ s = Set.insert a t

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
    Set.hasSize { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t }
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀f s t.
Set.finite s ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
(∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃!x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇒ Set.size t = Set.size s

⊦ ∀s t f.
Set.finite s ∧ Set.size s = Set.size t ∧ Set.image f s = t ⇒
∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧
    Number.Natural.≤ (Set.size s) (Set.size t) ⇒
    ∃f.
      Set.⊆ (Set.image f s) t ∧
      ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧
    (∀x.
       Set.∈ x s ⇒
       Set.finite (t x) ∧ Number.Natural.≤ (Set.size (t x)) n) ⇒
    Number.Natural.≤ (Set.size (Set.bigUnion { x. t x | Set.∈ x s }))
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.hasSize (t x) n) ⇒
    Set.hasSize { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x s ∧ Set.∈ y (t x) }
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ⇒
    Set.size
      { f. f |
        (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧ ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d } =
    Number.Natural.exp (Set.size t) (Set.size s)

⊦ ∀d s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ Set.hasSize t n ⇒
    Set.hasSize
      { f. f | (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧ ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d }
      (Number.Natural.exp n m)

⊦ ∀s t f g n.
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ∧ Set.hasSize s n ⇒
    Set.hasSize t n

⊦ ∀s t f g.
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ⇒
    ∀n. Set.hasSize s n ⇔ Set.hasSize t n

⊦ ∀s f.
    Set.finite s ∧ Set.⊆ (Set.image f s) s ⇒
    ((∀y. Set.∈ y s ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t f g.
    (Set.finite s ∨ Set.finite t) ∧
    (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y) ⇒ Set.size s = Set.size t

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ⇒
    ∃f g.
      (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t ∧ g (f x) = x) ∧
      ∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y

⊦ ∀s t f.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ∧
    Set.⊆ (Set.image f s) t ⇒
    ((∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t m n.
    Set.hasSize s m ∧ (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.hasSize (t x) n) ∧
    (∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ ¬(x = y) ⇒ Set.disjoint (t x) (t y)) ⇒
    Set.hasSize (Set.bigUnion { x. t x | Set.∈ x s })
      (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t.
    Set.finite s ∧ Set.finite t ∧ Set.size s = Set.size t ⇒
    ∃f.
      (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
      (∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ∧
      ∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y

Input Type Operators

→
bool
Data
- Pair
  - Data.Pair.×
Number
- Natural
  - Number.Natural.natural
Set
- Set.set

Input Constants

=
select
Data
- Bool
  - ∀
  - ∧
  - ⇒
  - ∃
  - ∃!
  - ∨
  - ¬
  - cond
  - F
  - T
- Pair
  - Data.Pair.,
Number
- Natural
  - Number.Natural.*
  - Number.Natural.+
  - Number.Natural.-
  - Number.Natural.<
  - Number.Natural.≤
  - Number.Natural.bit0
  - Number.Natural.bit1
  - Number.Natural.exp
  - Number.Natural.suc
  - Number.Natural.zero
Set
- Set.∅
- Set.bigUnion
- Set.cross
- Set.delete
- Set.\
- Set.disjoint
- Set.finite
- Set.fold
- Set.fromPredicate
- Set.hasSize
- Set.image
- Set.insert
- Set.∩
- Set.∈
- Set.⊂
- Set.size
- Set.⊆
- Set.∪
- Set.universe

Assumptions

⊦ T

⊦ Set.finite Set.∅

⊦ Set.bigUnion Set.∅ = Set.∅

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ 0 n

⊦ ∀n. Number.Natural.≤ n n

⊦ ∀s. Set.⊆ Set.∅ s

⊦ ∀s. Set.⊆ s s

⊦ F ⇔ ∀p. p

⊦ 1 = Number.Natural.suc 0

⊦ ∀x. ¬Set.∈ x Set.∅

⊦ ∀a. Set.finite (Set.insert a Set.∅)

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀n. ¬Number.Natural.< n n

⊦ ∀n. Number.Natural.< n (Number.Natural.suc n)

⊦ (¬) = λp. p ⇒ F

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. T

⊦ ∀x. x = x ⇔ T

⊦ ∀n. ¬(Number.Natural.suc n = 0)

⊦ ∀m. Number.Natural.- m 0 = m

⊦ ∀n. Number.Natural.- n n = 0

⊦ Set.universe = Set.insert T (Set.insert F Set.∅)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit0 n = Number.Natural.+ n n

⊦ ∀s t. Set.disjoint s (Set.\ t s)

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ T) ∨ (t ⇔ F)

⊦ ∀n. Number.Natural.bit1 n = Number.Natural.suc (Number.Natural.+ n n)

⊦ ∀m. Number.Natural.suc m = Number.Natural.+ m 1

⊦ ∀n. Number.Natural.- (Number.Natural.suc n) 1 = n

⊦ ∀x s. ¬(Set.insert x s = Set.∅)

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y

⊦ ∀p. ∃x y. p = Data.Pair., x y

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t1 t2. t1 ∧ t2 ⇔ t2 ∧ t1

⊦ ∀m n. Number.Natural.* m n = Number.Natural.* n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ n m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇒ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.- (Number.Natural.+ m n) n = m

⊦ ∀s x. Set.finite (Set.delete s x) ⇔ Set.finite s

⊦ ∀s x. Set.finite (Set.insert x s) ⇔ Set.finite s

⊦ ∀s t. Set.finite s ⇒ Set.finite (Set.\ s t)

⊦ ∀s t. Set.∪ s t = Set.∪ t s

⊦ ∀f s. Set.finite s ⇒ Set.finite (Set.image f s)

⊦ ∀p x. Set.∈ x (Set.fromPredicate p) ⇔ p x

⊦ ∀s. Set.size s = Set.fold (λx n. Number.Natural.suc n) s 0

⊦ ∀m n. ¬Number.Natural.≤ m n ⇔ Number.Natural.< n m

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) n ⇔ Number.Natural.< m n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = Number.Natural.suc n

⊦ ∀s. (∃x. Set.∈ x s) ⇔ ¬(s = Set.∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f T T

⊦ ∀P. ¬(∀x. P x) ⇔ ∃x. ¬P x

⊦ ∀P. ¬(∃x. P x) ⇔ ∀x. ¬P x

⊦ (∃) = λP. ∀q. (∀x. P x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀m n. Number.Natural.suc m = Number.Natural.suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n.
Number.Natural.≤ (Number.Natural.suc m) (Number.Natural.suc n) ⇔
Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀m n. Number.Natural.+ m n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀s t. Set.disjoint s t ⇔ Set.∩ s t = Set.∅

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ⇔ Set.∪ s t = t

⊦ ∀s t. Set.\ s t = Set.∅ ⇔ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t. Set.\ s t = s ⇔ Set.disjoint s t

⊦ ∀s t. Set.\ (Set.\ s t) t = Set.\ s t

⊦ ∀s t. Set.∪ (Set.\ s t) t = Set.∪ s t

⊦ ∀s t. Set.finite t ∧ Set.⊆ s t ⇒ Set.finite s

⊦ ∀s u. Set.bigUnion (Set.insert s u) = Set.∪ s (Set.bigUnion u)

⊦ { m. m | Number.Natural.< m 0 } = Set.∅

⊦ ∀x s. Set.delete s x = s ⇔ ¬Set.∈ x s

⊦ ∀m n.
Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀s t. Set.finite (Set.∪ s t) ⇔ Set.finite s ∧ Set.finite t

⊦ ∀s t. Set.finite s ∨ Set.finite t ⇒ Set.finite (Set.∩ s t)

⊦ ∀P. (∀p. P p) ⇔ ∀p1 p2. P (Data.Pair., p1 p2)

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ⇔ ∃d. n = Number.Natural.+ m d

⊦ ∀s t x. Set.⊆ s t ⇒ Set.⊆ s (Set.insert x t)

⊦ ∀f g. f = g ⇔ ∀x. f x = g x

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀x s. Set.∈ x s ⇒ Set.insert x (Set.delete s x) = s

⊦ ∀m n. Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n m ⇔ m = n

⊦ ∀s n. Set.hasSize s n ⇔ Set.finite s ∧ Set.size s = n

⊦ ∀s t. Set.∪ s (Set.\ t s) = t ⇔ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ∧ Set.⊆ t s ⇒ s = t

⊦ ∀PAIR'. ∃fn. ∀a0 a1. fn (Data.Pair., a0 a1) = PAIR' a0 a1

⊦ (∀s. Set.∪ Set.∅ s = s) ∧ ∀s. Set.∪ s Set.∅ = s

⊦ ∀f s x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) (Set.image f s)

⊦ ∀P. (∀x y. P x y) ⇔ ∀y x. P x y

⊦ ∀P Q. (∀x. P ⇒ Q x) ⇔ P ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. P ∧ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∧ Q x

⊦ ∀P Q. P ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P ∨ Q x

⊦ ∀m n. Number.Natural.< m n ⇔ Number.Natural.≤ m n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀s t. Set.⊂ s t ⇔ Set.⊆ s t ∧ ¬(s = t)

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∧ Q ⇔ ∃x. P x ∧ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ⇒ Q ⇔ ∀x. P x ⇒ Q

⊦ ∀P Q. (∀x. P x) ∨ Q ⇔ ∀x. P x ∨ Q

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ Q ⇔ ∃x. P x ∨ Q

⊦ ∀s. Set.bigUnion s = Set.∅ ⇔ ∀t. Set.∈ t s ⇒ t = Set.∅

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∧ t2 ∧ t3 ⇔ (t1 ∧ t2) ∧ t3

⊦ ∀t1 t2 t3. t1 ∨ t2 ∨ t3 ⇔ (t1 ∨ t2) ∨ t3

⊦ ∀p q r. p ∧ q ⇒ r ⇔ p ⇒ q ⇒ r

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.+ m (Number.Natural.+ n p) =
Number.Natural.+ (Number.Natural.+ m n) p

⊦ ∀m n p. Number.Natural.+ m n = Number.Natural.+ m p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.< m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.< n p ⇒ Number.Natural.< m p

⊦ ∀m n p.
Number.Natural.≤ m n ∧ Number.Natural.≤ n p ⇒ Number.Natural.≤ m p

⊦ ∀s t. s = t ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇔ Set.∈ x t

⊦ ∀s t. Set.⊆ s t ⇔ ∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ x t

⊦ ∀t1 t2. (if T then t1 else t2) = t1 ∧ (if F then t1 else t2) = t2

⊦ ∀m n.
    Number.Natural.< n m ⇒
    Number.Natural.suc (Number.Natural.- m (Number.Natural.suc n)) =
    Number.Natural.- m n

⊦ ∀s.
Set.finite s ⇒
(Set.finite (Set.bigUnion s) ⇔ ∀t. Set.∈ t s ⇒ Set.finite t)

⊦ ∀s t. Set.disjoint s (Set.bigUnion t) ⇔ ∀x. Set.∈ x t ⇒ Set.disjoint s x

⊦ ∀P. P 0 ∧ (∀n. P n ⇒ P (Number.Natural.suc n)) ⇒ ∀n. P n

⊦ (∀t. ¬¬t ⇔ t) ∧ (¬T ⇔ F) ∧ (¬F ⇔ T)

⊦ ∀p x. Set.∈ x { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀x y s. Set.∈ x (Set.insert y s) ⇔ x = y ∨ Set.∈ x s

⊦ ∀x s t. Set.⊆ (Set.insert x s) t ⇔ Set.∈ x t ∧ Set.⊆ s t

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.∩ s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ Set.∈ x t

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.∪ s t) ⇔ Set.∈ x s ∨ Set.∈ x t

⊦ (∃!) = λP. (∃) P ∧ ∀x y. P x ∧ P y ⇒ x = y

⊦ ∀f s. { x. f x | Set.∈ x s } = Set.image f s

⊦ ∀x s t. Set.disjoint (Set.insert x s) t ⇔ ¬Set.∈ x t ∧ Set.disjoint s t

⊦ ∀s x y. Set.∈ x (Set.delete s y) ⇔ Set.∈ x s ∧ ¬(x = y)

⊦ ∀s t x. Set.∈ x (Set.\ s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ ¬Set.∈ x t

⊦ ∀s. s = Set.∅ ∨ ∃x t. s = Set.insert x t ∧ ¬Set.∈ x t

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ∧ Q x) ⇔ (∀x. P x) ∧ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x ∨ Q x) ⇔ (∃x. P x) ∨ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∀x. P x) ⇒ ∀x. Q x

⊦ ∀P Q. (∀x. P x ⇒ Q x) ⇒ (∃x. P x) ⇒ ∃x. Q x

⊦ ∀P Q. (∃x. P x) ∨ (∃x. Q x) ⇔ ∃x. P x ∨ Q x

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀y s f. Set.∈ y (Set.image f s) ⇔ ∃x. y = f x ∧ Set.∈ x s

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
    Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n

⊦ ∀x y a b. Data.Pair., x y = Data.Pair., a b ⇔ x = a ∧ y = b

⊦ ∀x y s t. Set.∈ (Data.Pair., x y) (Set.cross s t) ⇔ Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t

⊦ ∀m n p q.
Number.Natural.≤ m p ∧ Number.Natural.≤ n q ⇒
Number.Natural.≤ (Number.Natural.+ m n) (Number.Natural.+ p q)

⊦ (∀m. Number.Natural.exp m 0 = 1) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.exp m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.* m (Number.Natural.exp m n)

⊦ ∀P c x y. P (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ P x) ∧ (¬c ⇒ P y)

⊦ ∀t. { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x Set.∅ ∧ Set.∈ y (t x) } = Set.∅

⊦ ∀x s t.
Set.∪ (Set.insert x s) t =
if Set.∈ x t then Set.∪ s t else Set.insert x (Set.∪ s t)

⊦ (∀m. Number.Natural.< m 0 ⇔ F) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = n ∨ Number.Natural.< m n

⊦ (∀f. Set.image f Set.∅ = Set.∅) ∧
∀f x s. Set.image f (Set.insert x s) = Set.insert (f x) (Set.image f s)

⊦ ∀s t. Set.cross s t = { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x s ∧ Set.∈ y t }

⊦ ∀n.
{ m. m | Number.Natural.< m (Number.Natural.suc n) } =
Set.insert n { m. m | Number.Natural.< m n }

⊦ (∀m. Number.Natural.≤ m 0 ⇔ m = 0) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.≤ m (Number.Natural.suc n) ⇔
    m = Number.Natural.suc n ∨ Number.Natural.≤ m n

⊦ ∀P a b. Set.∈ (Data.Pair., a b) { x y. Data.Pair., x y | P x y } ⇔ P a b

⊦ ∀t. ((T ⇔ t) ⇔ t) ∧ ((t ⇔ T) ⇔ t) ∧ ((F ⇔ t) ⇔ ¬t) ∧ ((t ⇔ F) ⇔ ¬t)

⊦ ∀P.
    P Set.∅ ∧
    (∀x s. P s ∧ ¬Set.∈ x s ∧ Set.finite s ⇒ P (Set.insert x s)) ⇒
    ∀s. Set.finite s ⇒ P s

⊦ ∀t. (T ∧ t ⇔ t) ∧ (t ∧ T ⇔ t) ∧ (F ∧ t ⇔ F) ∧ (t ∧ F ⇔ F) ∧ (t ∧ t ⇔ t)

⊦ ∀t. (T ∨ t ⇔ T) ∧ (t ∨ T ⇔ T) ∧ (F ∨ t ⇔ t) ∧ (t ∨ F ⇔ t) ∧ (t ∨ t ⇔ t)

⊦ ∀f s.
(∀x y. Set.∈ x s ∧ Set.∈ y s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
(Set.finite (Set.image f s) ⇔ Set.finite s)

⊦ ∀t. (T ⇒ t ⇔ t) ∧ (t ⇒ T ⇔ T) ∧ (F ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ t ⇔ T) ∧ (t ⇒ F ⇔ ¬t)

⊦ ∀d t.
    { f. f |
      (∀x. Set.∈ x Set.∅ ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
      ∀x. ¬Set.∈ x Set.∅ ⇒ f x = d } = Set.insert (λx. d) Set.∅

⊦ ∀f s t.
(∀y. Set.∈ y t ⇒ ∃x. Set.∈ x s ∧ f x = y) ⇔
∃g. ∀y. Set.∈ y t ⇒ Set.∈ (g y) s ∧ f (g y) = y

⊦ (∀n. Number.Natural.+ 0 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.+ m 0 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.+ (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.suc (Number.Natural.+ m n)

⊦ ∀s t a.
    { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x (Set.insert a s) ∧ Set.∈ y (t x) } =
    Set.∪ (Set.image (Data.Pair., a) (t a))
      { x y. Data.Pair., x y | Set.∈ x s ∧ Set.∈ y (t x) }

⊦ ∀s.
    { t. t | Set.⊆ t s } =
    Set.image (λp. { x. x | p x })
      { p. p |
        (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (p x) Set.universe) ∧
        ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ (p x ⇔ F) }

⊦ ∀p q r.
(p ∨ q ⇔ q ∨ p) ∧ ((p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r ⇔ q ∨ p ∨ r) ∧
(p ∨ p ⇔ p) ∧ (p ∨ p ∨ q ⇔ p ∨ q)

⊦ ∀f b.
    (∀x y s. ¬(x = y) ⇒ f x (f y s) = f y (f x s)) ⇒
    Set.fold f Set.∅ b = b ∧
    ∀x s.
      Set.finite s ⇒
      Set.fold f (Set.insert x s) b =
      if Set.∈ x s then Set.fold f s b else f x (Set.fold f s b)

⊦ (∀n. Number.Natural.* 0 n = 0) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 0 = 0) ∧
  (∀n. Number.Natural.* 1 n = n) ∧ (∀m. Number.Natural.* m 1 = m) ∧
  (∀m n.
     Number.Natural.* (Number.Natural.suc m) n =
     Number.Natural.+ (Number.Natural.* m n) n) ∧
  ∀m n.
    Number.Natural.* m (Number.Natural.suc n) =
    Number.Natural.+ m (Number.Natural.* m n)

⊦ ∀d a s t.
    { f. f |
      (∀x. Set.∈ x (Set.insert a s) ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧
      ∀x. ¬Set.∈ x (Set.insert a s) ⇒ f x = d } =
    Set.image (λ(Data.Pair., b g) x. if x = a then b else g x)
      (Set.cross t
         { f. f |
           (∀x. Set.∈ x s ⇒ Set.∈ (f x) t) ∧ ∀x. ¬Set.∈ x s ⇒ f x = d })