Package set-size-thm: Properties of finite set cardinality

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• Package tarball set-size-thm-1.65.tgz
• Theory source file set-size-thm.thy (included in the package tarball)

Theorems

⊦ size ∅ = 0

⊦ hasSize universe 2

⊦ ∀x. hasSize (insert x ∅) 1

⊦ finite universe ∧ finite universe ⇒ finite universe

⊦ ∀x. size (insert x ∅) = 1

⊦ ∀s. finite s ⇔ hasSize s (size s)

⊦ ∀s. hasSize s 0 ⇔ s = ∅

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇒ size s = n

⊦ ∀s. finite s ⇒ (size s = 0 ⇔ s = ∅)

⊦ ∀f s. finite s ⇒ size (image f s) ≤ size s

⊦ ∀n. hasSize { m. m | m < n } n

⊦ finite universe ∧ finite universe ⇒
  size universe = size universe ↑ size universe

⊦ ∀n. size { m. m | m < n } = n

⊦ ∀a b. a ⊂ b ∧ finite b ⇒ size a < size b

⊦ ∀a b. a ⊆ b ∧ finite b ⇒ size a ≤ size b

⊦ ∀m n. hasSize universe m ∧ hasSize universe n ⇒ hasSize universe (n ↑ m)

⊦ ∀n. hasSize { m. m | m ≤ n } (n + 1)

⊦ ∀s. finite s ∧ size s ≤ 1 ⇔ ∃a. s ⊆ insert a ∅

⊦ ∀n. size { m. m | m ≤ n } = n + 1

⊦ ∀f s t. finite t ∧ s ⊆ image f t ⇒ size s ≤ size t

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ⇒ size (s ∪ t) ≤ size s + size t

⊦ ∀s t. finite t ∧ s ⊆ t ⇒ (size s = size t ⇔ s = t)

⊦ ∀a b. finite b ∧ a ⊆ b ∧ size a = size b ⇒ a = b

⊦ ∀a b. finite b ∧ a ⊆ b ∧ size b ≤ size a ⇒ a = b

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ⇒ size (cross s t) = size s * size t

⊦ ∀n s. finite s ⇒ n ≤ size s ⇔ ∃t. t ⊆ s ∧ hasSize t n

⊦ ∀s n. finite s ∧ n ≤ size s ⇒ ∃t. t ⊆ s ∧ hasSize t n

⊦ ∀s n. (finite s ⇒ n ≤ size s) ⇒ ∃t. t ⊆ s ∧ hasSize t n

⊦ ∀x s.
    finite s ⇒ size (insert x s) = if x ∈ s then size s else suc (size s)

⊦ ∀s t. finite s ∧ t ⊆ s ⇒ size (s \ t) = size s - size t

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ⇒ size (s ∪ t) = size s + size (t \ s)

⊦ ∀s t m n. hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒ hasSize (cross s t) (m * n)

⊦ ∀x s. finite s ⇒ size (delete s x) = if x ∈ s then size s - 1 else size s

⊦ ∀s. finite s ⇒ size { t. t | t ⊆ s } = 2 ↑ size s

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇒ hasSize { t. t | t ⊆ s } (2 ↑ n)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒ (size (s ∪ t) = size s + size t ⇔ disjoint s t)

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ∧ disjoint s t ⇒ size (s ∪ t) = size s + size t

⊦ ∀s n. hasSize s (suc n) ⇔ ¬(s = ∅) ∧ ∀a. a ∈ s ⇒ hasSize (delete s a) n

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ⇒ size (s ∪ t) = size s + size t - size (s ∩ t)

⊦ ∀s t. finite s ∧ finite t ⇒ size (s ∪ t) + size (s ∩ t) = size s + size t

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size (s ∪ t) < size s + size t ⇒ ¬disjoint s t

⊦ ∀s n. hasSize s (suc n) ⇔ ∃a t. hasSize t n ∧ ¬(a ∈ t) ∧ s = insert a t

⊦ ∀s n. finite { t. t | t ⊆ s ∧ hasSize t n } ⇔ finite s ∨ n = 0

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ∧ disjoint s t ⇒ hasSize (s ∪ t) (m + n)

⊦ ∀s t m n. hasSize s m ∧ hasSize t n ∧ t ⊆ s ⇒ hasSize (s \ t) (m - n)

⊦ ∀s t u. finite u ∧ disjoint s t ∧ s ∪ t = u ⇒ size s + size t = size u

⊦ ∀s f. finite s ∧ image f s = s ⇒ ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size { x y. (x, y) | x ∈ s ∧ y ∈ t } = size s * size t

⊦ ∀s n.
    hasSize s n ⇒
    ∃f. (∀m. m < n ⇒ f m ∈ s) ∧ ∀x. x ∈ s ⇒ ∃!m. m < n ∧ f m = x

⊦ ∀f s.
    finite s ⇒
    (size (image f s) = size s ⇔ ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀f s.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ finite s ⇒
    size (image f s) = size s

⊦ ∀p.
    p ∅ ∧ (∀s. finite s ∧ ¬(s = ∅) ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ (p (delete s x) ⇒ p s)) ⇒
    ∀s. finite s ⇒ p s

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (hasSize (image f s) n ⇔ hasSize s n)

⊦ ∀f s n.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ∧ hasSize s n ⇒
    hasSize (image f s) n

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒
    hasSize { x y. (x, y) | x ∈ s ∧ y ∈ t } (m * n)

⊦ ∀n s u.
    s ⊆ u ∧ finite s ∧ size s ≤ n ∧ (finite u ⇒ n ≤ size u) ⇒
    ∃t. s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ hasSize t n

⊦ ∀f s t.
    finite s ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ (∀y. y ∈ t ⇒ ∃!x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇒
    size t = size s

⊦ ∀s t f.
    finite s ∧ size s = size t ∧ image f s = t ⇒
    ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size s ≤ size t ⇒
    ∃f. image f s ⊆ t ∧ ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ finite (t x) ∧ size (t x) ≤ n) ⇒
    size (bigUnion { x. t x | x ∈ s }) ≤ m * n

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ hasSize (t x) n) ⇒
    hasSize { x y. (x, y) | x ∈ s ∧ y ∈ t x } (m * n)

⊦ ∀f n.
    (∀t u. t ∈ f ∧ u ∈ f ⇒ t ⊆ u ∨ u ⊆ t) ∧
    (∀t. t ∈ f ⇒ finite t ∧ size t ≤ n) ⇒
    finite (bigUnion f) ∧ size (bigUnion f) ≤ n

⊦ ∀d s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    size { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d } =
    size t ↑ size s

⊦ ∀d s t m n.
    hasSize s m ∧ hasSize t n ⇒
    hasSize { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d }
      (n ↑ m)

⊦ ∀s t f g n.
    (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ∧ hasSize s n ⇒ hasSize t n

⊦ ∀s t f g.
    (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ⇒ ∀n. hasSize s n ⇔ hasSize t n

⊦ ∀s f.
    finite s ∧ image f s ⊆ s ⇒
    ((∀y. y ∈ s ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t f g.
    (finite s ∨ finite t) ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
    (∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y) ⇒ size s = size t

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ⇒
    ∃f g.
      (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t ∧ g (f x) = x) ∧
      ∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊦ ∀s t f.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ∧ image f s ⊆ t ⇒
    ((∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
     ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y)

⊦ ∀s t m n.
    hasSize s m ∧ (∀x. x ∈ s ⇒ hasSize (t x) n) ∧
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ ¬(x = y) ⇒ disjoint (t x) (t y)) ⇒
    hasSize (bigUnion { x. t x | x ∈ s }) (m * n)

⊦ ∀s t.
    finite s ∧ finite t ∧ size s = size t ⇒
    ∃f.
      (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ (∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ∧
      ∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y

External Type Operators

• →
• bool
• Data
  • Pair
    • ×
• Number
  • Natural
    • natural
• Set
  • set

External Constants

• =
• select
• Data
  • Bool
    • ∀
    • ∧
    • ⇒
    • ∃
    • ∃!
    • ∨
    • ¬
    • cond
    • ⊥
    • ⊤
  • Pair
    • ,
• Number
  • Natural
    • *
    • +
    • -
    • <
    • ≤
    • ↑
    • bit0
    • bit1
    • suc
    • zero
• Set
  • ∅
  • bigUnion
  • cross
  • delete
  • \
  • disjoint
  • finite
  • fold
  • fromPredicate
  • hasSize
  • image
  • infinite
  • insert
  • ∩
  • ∈
  • ⊂
  • size
  • ⊆
  • ∪
  • universe

Assumptions

⊦ ⊤

⊦ finite ∅

⊦ ¬⊥ ⇔ ⊤

⊦ ¬⊤ ⇔ ⊥

⊦ bit0 0 = 0

⊦ bigUnion ∅ = ∅

⊦ ∀x. x ∈ universe

⊦ ∀t. t ⇒ t

⊦ ∀n. 0 ≤ n

⊦ ∀n. n ≤ n

⊦ ∀s. ∅ ⊆ s

⊦ ∀s. s ⊆ s

⊦ ⊥ ⇔ ∀p. p

⊦ ∀x. ¬(x ∈ ∅)

⊦ ∀a. finite (insert a ∅)

⊦ ∀t. t ∨ ¬t

⊦ ∀m. ¬(m < 0)

⊦ ∀n. ¬(n < n)

⊦ ∀n. n < suc n

⊦ (¬) = λp. p ⇒ ⊥

⊦ ∀t. (∀x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (∃x. t) ⇔ t

⊦ ∀t. (λx. t x) = t

⊦ (∀) = λp. p = λx. ⊤

⊦ ∀t. ¬¬t ⇔ t

⊦ ∀t. (⊤ ⇔ t) ⇔ t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ∧ t ⇔ ⊥

⊦ ∀t. ⊤ ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ ⊥ ⇔ ⊥

⊦ ∀t. t ∧ ⊤ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∧ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊥ ⇒ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊤ ⇒ t ⇔ t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀t. ⊥ ∨ t ⇔ t

⊦ ∀t. ⊤ ∨ t ⇔ ⊤

⊦ ∀t. t ∨ ⊥ ⇔ t

⊦ ∀t. t ∨ ⊤ ⇔ ⊤

⊦ ∀n. ¬(suc n = 0)

⊦ ∀n. 0 * n = 0

⊦ ∀n. 0 + n = n

⊦ ∀m. m + 0 = m

⊦ ∀m. m - 0 = m

⊦ ∀n. n - n = 0

⊦ ∀s. ∅ ∪ s = s

⊦ ∀f. image f ∅ = ∅

⊦ universe = insert ⊤ (insert ⊥ ∅)

⊦ size = fold (λx n. suc n) 0

⊦ ∀t. (⊥ ⇔ t) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊥) ⇔ ¬t

⊦ ∀t. t ⇒ ⊥ ⇔ ¬t

⊦ ∀n. bit1 n = suc (bit0 n)

⊦ ∀m. m ↑ 0 = 1

⊦ ∀s. infinite s ⇔ ¬finite s

⊦ ∀x s. delete s x ⊆ s

⊦ ∀m n. n ≤ m + n

⊦ ∀s t. disjoint s (t \ s)

⊦ ∀s t. s ⊆ s ∪ t

⊦ (⇒) = λp q. p ∧ q ⇔ p

⊦ ∀t. (t ⇔ ⊤) ∨ (t ⇔ ⊥)

⊦ ∀m. suc m = m + 1

⊦ ∀m. m ≤ 0 ⇔ m = 0

⊦ ∀n. suc n - 1 = n

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊥ then t₁ else t₂) = t₂

⊦ ∀t₁ t₂. (if ⊤ then t₁ else t₂) = t₁

⊦ ∀x s. ¬(insert x s = ∅)

⊦ ∀p x. p x ⇒ p ((select) p)

⊦ ∀n. 0 < n ⇔ ¬(n = 0)

⊦ ∀n. bit0 (suc n) = suc (suc (bit0 n))

⊦ ∀f y. (let x ← y in f x) = f y

⊦ ∀x. ∃a b. x = (a, b)

⊦ ∀x y. x = y ⇔ y = x

⊦ ∀x y. x = y ⇒ y = x

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∧ t₂ ⇔ t₂ ∧ t₁

⊦ ∀t₁ t₂. t₁ ∨ t₂ ⇔ t₂ ∨ t₁

⊦ ∀m n. m * n = n * m

⊦ ∀m n. m + n = n + m

⊦ ∀m n. m = n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m < n ⇒ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n - n = m

⊦ ∀s x. finite (delete s x) ⇔ finite s

⊦ ∀s x. finite (insert x s) ⇔ finite s

⊦ ∀s t. finite s ⇒ finite (s \ t)

⊦ ∀s t. s ∪ t = t ∪ s

⊦ ∀f s. finite s ⇒ finite (image f s)

⊦ ∀p x. x ∈ fromPredicate p ⇔ p x

⊦ universe = { x. x | ⊤ }

⊦ ∀m n. ¬(m < n) ⇔ n ≤ m

⊦ ∀m n. ¬(m ≤ n) ⇔ n < m

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. suc m ≤ n ⇔ m < n

⊦ ∀m. m = 0 ∨ ∃n. m = suc n

⊦ ∀s. (∃x. x ∈ s) ⇔ ¬(s = ∅)

⊦ (∧) = λp q. (λf. f p q) = λf. f ⊤ ⊤

⊦ ∀p. ¬(∀x. p x) ⇔ ∃x. ¬p x

⊦ ∀p. ¬(∃x. p x) ⇔ ∀x. ¬p x

⊦ (∃) = λp. ∀q. (∀x. p x ⇒ q) ⇒ q

⊦ ∀x y. x ∈ insert y ∅ ⇔ x = y

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ⇒ t₂) ⇔ t₁ ∧ ¬t₂

⊦ ∀t₁ t₂. ¬t₁ ⇒ ¬t₂ ⇔ t₂ ⇒ t₁

⊦ ∀m n. m + suc n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m + n = suc (m + n)

⊦ ∀m n. suc m = suc n ⇔ m = n

⊦ ∀m n. suc m ≤ suc n ⇔ m ≤ n

⊦ ∀m n. m + n = m ⇔ n = 0

⊦ ∀s x. insert x ∅ ⊆ s ⇔ x ∈ s

⊦ ∀s t. disjoint s t ⇔ s ∩ t = ∅

⊦ ∀s t. s ⊆ t ⇔ s ∪ t = t

⊦ ∀s t. s \ t = ∅ ⇔ s ⊆ t

⊦ ∀s t. s \ t = s ⇔ disjoint s t

⊦ ∀s t. s \ t \ t = s \ t

⊦ ∀s t. s \ t ∪ t = s ∪ t

⊦ ∀s t. finite t ∧ s ⊆ t ⇒ finite s

⊦ ∀s u. bigUnion (insert s u) = s ∪ bigUnion u

⊦ { m. m | m < 0 } = ∅

⊦ ∀x s. delete s x = s ⇔ ¬(x ∈ s)

⊦ ∀t₁ t₂. ¬(t₁ ∧ t₂) ⇔ ¬t₁ ∨ ¬t₂

⊦ ∀m n. m * suc n = m + m * n

⊦ ∀m n. m ↑ suc n = m * m ↑ n

⊦ ∀m n. suc m * n = m * n + n

⊦ ∀s t. finite (s ∪ t) ⇔ finite s ∧ finite t

⊦ ∀s t. infinite s ∧ finite t ⇒ infinite (s \ t)

⊦ ∀s t. finite s ∨ finite t ⇒ finite (s ∩ t)

⊦ ∀p. (∀x. p x) ⇔ ∀a b. p (a, b)

⊦ ∀m n. m ≤ n ⇔ ∃d. n = m + d

⊦ ∀s t x. s ⊆ t ⇒ s ⊆ insert x t

⊦ ∀f g. (∀x. f x = g x) ⇔ f = g

⊦ ∀p a. (∃x. a = x ∧ p x) ⇔ p a

⊦ (∨) = λp q. ∀r. (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ r) ⇒ r

⊦ ∀x s. x ∈ s ⇒ insert x (delete s x) = s

⊦ ∀m n. n ≤ m ⇒ m - n + n = m

⊦ ∀m n. m ≤ n ∧ n ≤ m ⇔ m = n

⊦ ∀s n. hasSize s n ⇔ finite s ∧ size s = n

⊦ ∀s t. s ∪ (t \ s) = t ⇔ s ⊆ t

⊦ ∀s t. s ⊆ t ∧ t ⊆ s ⇒ s = t

⊦ ∀f. ∃fn. ∀a b. fn (a, b) = f a b

⊦ ∀m n. m < n ⇔ ∃d. n = m + suc d

⊦ ∀f s x. x ∈ s ⇒ f x ∈ image f s

⊦ ∀p. (∀x y. p x y) ⇔ ∀y x. p x y

⊦ ∀p. (∃x y. p x y) ⇔ ∃y x. p x y

⊦ ∀p q. (∀x. p ⇒ q x) ⇔ p ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. p ∧ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∧ q x

⊦ ∀p q. p ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p ∨ q x

⊦ ∀m n. m < n ⇔ m ≤ n ∧ ¬(m = n)

⊦ ∀m n. m < suc n ⇔ m = n ∨ m < n

⊦ ∀s t. s ⊂ t ⇔ s ⊆ t ∧ ¬(s = t)

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∧ q ⇔ ∃x. p x ∧ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ⇒ q ⇔ ∀x. p x ⇒ q

⊦ ∀p q. (∀x. p x) ∨ q ⇔ ∀x. p x ∨ q

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ q ⇔ ∃x. p x ∨ q

⊦ ∀s. bigUnion s = ∅ ⇔ ∀t. t ∈ s ⇒ t = ∅

⊦ ∀x y z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z

⊦ ∀p q r. p ⇒ q ⇒ r ⇔ p ∧ q ⇒ r

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∧ t₂) ∧ t₃ ⇔ t₁ ∧ t₂ ∧ t₃

⊦ ∀t₁ t₂ t₃. (t₁ ∨ t₂) ∨ t₃ ⇔ t₁ ∨ t₂ ∨ t₃

⊦ ∀m n p. m + (n + p) = m + n + p

⊦ ∀m n p. m + n = m + p ⇔ n = p

⊦ ∀m n p. m < n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n < p ⇒ m < p

⊦ ∀m n p. m ≤ n ∧ n ≤ p ⇒ m ≤ p

⊦ ∀s t. s ⊆ t ⇔ ∀x. x ∈ s ⇒ x ∈ t

⊦ ∀s t. (∀x. x ∈ s ⇔ x ∈ t) ⇔ s = t

⊦ ∀s. finite s ⇒ finite { t. t | t ⊆ s }

⊦ ∀m n. n < m ⇒ suc (m - suc n) = m - n

⊦ ∀s. finite s ⇒ (finite (bigUnion s) ⇔ ∀t. t ∈ s ⇒ finite t)

⊦ ∀s. finite (bigUnion s) ⇔ finite s ∧ ∀t. t ∈ s ⇒ finite t

⊦ ∀s t. disjoint s (bigUnion t) ⇔ ∀x. x ∈ t ⇒ disjoint s x

⊦ ∀f x s. image f (insert x s) = insert (f x) (image f s)

⊦ ∀p. p 0 ∧ (∀n. p n ⇒ p (suc n)) ⇒ ∀n. p n

⊦ ∀p x. x ∈ { y. y | p y } ⇔ p x

⊦ ∀x y s. x ∈ insert y s ⇔ x = y ∨ x ∈ s

⊦ ∀x s t. insert x s ⊆ t ⇔ x ∈ t ∧ s ⊆ t

⊦ ∀p q r. p ∧ (q ∨ r) ⇔ p ∧ q ∨ p ∧ r

⊦ ∀s t x. x ∈ s ∩ t ⇔ x ∈ s ∧ x ∈ t

⊦ ∀s t x. x ∈ s ∪ t ⇔ x ∈ s ∨ x ∈ t

⊦ ∀s t u. s ⊆ t \ u ⇔ s ⊆ t ∧ disjoint s u

⊦ ∀s t u. s ∪ t ⊆ u ⇔ s ⊆ u ∧ t ⊆ u

⊦ (∃!) = λp. (∃) p ∧ ∀x y. p x ∧ p y ⇒ x = y

⊦ ∀f s. { x. f x | x ∈ s } = image f s

⊦ ∀x s t. disjoint (insert x s) t ⇔ ¬(x ∈ t) ∧ disjoint s t

⊦ ∀s x y. x ∈ delete s y ⇔ x ∈ s ∧ ¬(x = y)

⊦ ∀s t x. x ∈ s \ t ⇔ x ∈ s ∧ ¬(x ∈ t)

⊦ ∀s. s = ∅ ∨ ∃x t. s = insert x t ∧ ¬(x ∈ t)

⊦ ∀p q. (∀x. p x ∧ q x) ⇔ (∀x. p x) ∧ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x ∨ q x) ⇔ (∃x. p x) ∨ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∀x. p x) ⇒ ∀x. q x

⊦ ∀p q. (∀x. p x ⇒ q x) ⇒ (∃x. p x) ⇒ ∃x. q x

⊦ ∀p q. (∃x. p x) ∨ (∃x. q x) ⇔ ∃x. p x ∨ q x

⊦ ∀y s f. y ∈ image f s ⇔ ∃x. y = f x ∧ x ∈ s

⊦ ∀s p. finite s ⇒ finite { x. x | x ∈ s ∧ p x }

⊦ ∀a b a' b'. (a, b) = (a', b') ⇔ a = a' ∧ b = b'

⊦ ∀x y s t. (x, y) ∈ cross s t ⇔ x ∈ s ∧ y ∈ t

⊦ ∀m n p q. m ≤ p ∧ n ≤ q ⇒ m + n ≤ p + q

⊦ ∀p c x y. p (if c then x else y) ⇔ (c ⇒ p x) ∧ (¬c ⇒ p y)

⊦ ∀t. { x y. (x, y) | x ∈ ∅ ∧ y ∈ t x } = ∅

⊦ ∀x s t. insert x s ∪ t = if x ∈ t then s ∪ t else insert x (s ∪ t)

⊦ ∀p. (∃!x. p x) ⇔ (∃x. p x) ∧ ∀x x'. p x ∧ p x' ⇒ x = x'

⊦ ∀p f s. (∀y. y ∈ image f s ⇒ p y) ⇔ ∀x. x ∈ s ⇒ p (f x)

⊦ ∀s t. cross s t = { x y. (x, y) | x ∈ s ∧ y ∈ t }

⊦ ∀n. { m. m | m < suc n } = insert n { m. m | m < n }

⊦ ∀p a b. (a, b) ∈ { x y. (x, y) | p x y } ⇔ p a b

⊦ ∀p f q. (∀z. z ∈ { x. f x | p x } ⇒ q z) ⇔ ∀x. p x ⇒ q (f x)

⊦ ∀p.
    p ∅ ∧ (∀x s. p s ∧ ¬(x ∈ s) ∧ finite s ⇒ p (insert x s)) ⇒
    ∀s. finite s ⇒ p s

⊦ ∀p f. bigUnion { x. f x | p x } = { a. a | ∃x. p x ∧ a ∈ f x }

⊦ ∀f s.
    (∀x y. x ∈ s ∧ y ∈ s ∧ f x = f y ⇒ x = y) ⇒
    (finite (image f s) ⇔ finite s)

⊦ ∀d t.
    { f. f | (∀x. x ∈ ∅ ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ ∅) ⇒ f x = d } =
    insert (λx. d) ∅

⊦ ∀f s t.
    (∀y. y ∈ t ⇒ ∃x. x ∈ s ∧ f x = y) ⇔
    ∃g. ∀y. y ∈ t ⇒ g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊦ ∀d s t.
    finite s ∧ finite t ⇒
    finite { f. f | (∀x. x ∈ s ⇒ f x ∈ t) ∧ ∀x. ¬(x ∈ s) ⇒ f x = d }

⊦ ∀f s.
    finite s ∧ s ⊆ bigUnion f ∧ ¬(f = ∅) ∧
    (∀t u. t ∈ f ∧ u ∈ f ⇒ t ⊆ u ∨ u ⊆ t) ⇒ ∃t. t ∈ f ∧ s ⊆ t

⊦ ∀s t a.
    { x y. (x, y) | x ∈ insert a s ∧ y ∈ t x } =
    image (, a) (t a) ∪ { x y. (x, y) | x ∈ s ∧ y ∈ t x }